評估示波器的 取樣率 vs. 取樣的詳實度

簡介

如何執行最準確的數位量測

DSO數位儲存示波器是今日的數位設計人員量測信號完整性（如setup/hold time、眼圖邊限和上升/下降時間）時所使用的主要工具。影響示波器信號完整性（signal integrity）量測準確度的兩大廣告訴求規格（banner specification）分別為頻寬和取樣率，大部分的工程師對所要進行的數位量測需要多大的頻寬都頗有概念，但對於所需的取樣率卻常常搞不清楚－工程師通常會假設取樣率最高的示波器才能提供最準確的數位量測結果，果真是這樣嗎？

示波器可能因交錯取樣的類比/數位轉換器（ADC）的對準度不佳，反而在信號的詳實度上表現得更差。這本應用手冊也會告訴您如何運用時域和頻域的分析方法，輕易地量測和比較出示波器ADC的取樣詳實度特性。

首先，讓我們來討論最低的取樣率需求，並順便溫故一下Nyquist的取樣定理。

Nyquist的取樣定理

您的數位量測應用需要多快的取樣 率？有些工程師完全信任 Nyquist， 認為 取樣率只要是示波器頻寬的兩倍就夠了， 也有些工程師不相信依據 Nyquist 標準所 設計的數位濾波技術， 主張示波器的取 樣率需為示波器頻寬規格的 10 到 20 倍。 真正的狀況其實是介於兩者之間， 若想 知道原因， 您必須先瞭解 Nyquist 定理， 以及它與示波器頻率響應的關係。 Harry Nyquist 博士 （圖 1） 假設：

Nyquist稱為f_MAX的就是我們一般所指的Nyquist頻率（f_N），它與示波器的頻寬（f_BW）並不相同。如果示波器的頻寬就訂在Nyquist頻率（f_N）的話，表示示波器會具有理想的磚牆型響應（brick-wall response），頻率正好會在這個位置被切截掉，如圖2所示。低於Nyquist頻率的頻率成份可以完全通過（增益＝1），高於Nyquist頻率的頻率成份則會被完全濾除。不幸的是，具有這種頻率響應的濾波器在真實的硬體中是不可能做得出來的。

大部分頻寬規格為1 GHz或以下之示波器的頻率響應都是所謂的高斯型（Gaussian），也就是當信號的輸入頻率接近示波器規格所訂的頻寬時，測得的振幅會慢慢減小。在頻寬的截止頻率上，信號可能被衰減多達3 dB（~30%）。如果示波器的頻寬就訂在Nyquist頻率（f_N），如圖3所示，則高於此頻率的輸入信號頻率成份即使被衰減超過3 dB，仍可能被取樣到（紅色細紋的區域），尤其是當輸入信號有快速的信號緣時，這是量測數位信號時經常會遇到的狀況。這一點違反了Nyquist的第一個原則。

大部分的示波器製造商不會將示波器的頻寬訂在Nyquist頻率（f_N），但有些則會，然而，波形記錄器/數位轉換器（digitizer）的製造商卻普遍會將儀器的頻寬訂在Nyquist頻率。現在，讓我們來看看當示波器的頻寬正好等於Nyquist頻率（f_N）時，會發生什麼事。

圖4是一個頻寬為500 MHz的示波器，在三或四通道的運作模式下，僅以1 GSa/s進行取樣的例子。雖然輸入信號的基本頻率（時脈速率）遠低於Nyquist的標準，但該信號的信號緣包含了相當多遠超過Nyquist頻率（f_N）的頻率成份。當您反覆加以檢視時，這個信號的信號緣會變得“搖擺不穩定”，有不同程度的預擊（pre-shoot）、過擊（over-shoot）現象和不同的信號緣速度。這就是出現膺頻的跡象，也清楚地證明取樣率與頻寬的比值僅僅2:1是不夠的，無法可靠地量測數位信號。

如此說來，應如何對應示波器的取樣率（f_S）和Nyquist頻率（f_N）來訂定示波器的頻寬（f_BW）呢？為儘量減少取到太多高於Nyquist頻率（f_N）的頻率成份，大部分的示波器製造商都會以典型的高斯型頻率響應為基礎，將示波器的頻寬訂在示波器即時取樣率的1/4到1/5或更低，如圖5所示。雖然以更高的速率（相對於示波器的頻寬）進行取樣可以進一步降低取到高於Nyquist頻率（f_N）之頻率成份的可能性，但取樣率與頻寬的比值為4:1就足以得到可靠的數位信號量測結果了。

頻寬規格為2 GHz或更高的示波器一般會呈現較陡的頻率下降（roll-off）響應/特性，我們將這種類型的頻率響應稱為“最大平坦化”（maximally-flat）響應。由於具有最大平坦化響應的示波器很接近磚牆型濾波器的理想特性，也就是高於Nyquist頻率的頻率成份會被衰減得更厲害，因此，不需要那麼多的取樣，即可運用數位濾波的方式，適切地呈現出輸入信號的波形。理論上，示波器製造商可以將具有這類型響應的示波器頻寬訂在f_S/2.5（假設前級類比硬體的性能夠好的話），不過，大部分的示波器製造商都未將這項規格拉高到超過f_S/3。

圖6使用頻寬為500 MHz的示波器，擷取一個信號緣速度在1 ns之譜（10%到90%）的100 MHz時脈信號。若要準確地擷取到這個數位信號，頻寬規格為500 MHz是建議使用的最低頻寬。這台示波器在雙通道的運作模式下，能以4 GSa/s進行取樣，在三或四通道運作模式下的取樣率則為2 GSa/s。在圖6中，示波器是以2 GSa/s進行取樣，也就是Nyquist頻率（f_N）的兩倍或頻寬頻率（f_BW）的四倍。由此可見，取樣率與頻寬的比值為4:1的示波器就能非常穩定且準確地顯示出輸入信號的波形。而且，運用Sin(x)/x波形重建/數位內插式濾波技術，示波器提供的波形及量測解析度可達10幾微微秒（picosecond）之譜。相較於我們前面所舉的例子（圖4）－使用相同頻寬的示波器，但只以兩倍於頻寬頻率（f_N）的速率進行取樣，在波形穩定度和準確度上的差別相當明顯。

如果同樣使用這台頻寬為500 MHz的示波器，但將取樣率加倍到4 GSa/s（f_BW x 8）會如何？您的直覺可能會認為示波器將產生明顯好很多的波形和量測結果，但在圖7中可以看到，的確是有一點改善，但幅度很小。如果仔細觀察這兩個波形（圖6和圖7），會發現當您以4 GSa/s（f_BW x 8）進行取樣時，顯示波形中的預擊和過擊現象有少一點點，但上升時間量測卻顯示出相同的結果（1.02 ns）。波形詳實度有稍微改善的關鍵在於，當這台示波器的取樣率與頻寬的比值從4:1（2 GSa/s）提高到8:1（4 GSa/s）時，並沒有帶入額外的誤差來源。從這裡也引出了我們的下一個討論主題：如果違反了Nyquist的第二個原則，會發生什麼事？Nyquist說取樣的間隔必須相等，使用者在評估數位儲存示波器時，常會忽略了這項重要的原則。

交錯式即時取樣

當ADC技術在最高取樣率上已經被使用到極致以後，示波器製造商如何能再創造出具有更高取樣率的示波器？追求更高的取樣率可能只是為了迎合示波器使用者的想法，認為“愈多就愈好”，或是總有一天會需要更高的取樣率，而不斷推出更高頻寬的即時示波器。然而，要讓示波器具備更高的取樣率並不是這麼簡單，好像只要選用取樣率更高的現成類比/數位轉換器就可以了。

所有主要的示波器製造商通常會採用的方法是交錯使用多個即時的ADC，但不要將這種取樣方法與反覆擷取的交錯取樣混淆了，這種我們稱之為"等效時間"取樣。

圖8是一個即時的交錯取樣ADC系統的功能區塊圖，當中包含兩個ADC，彼此會採相位延遲的方式進行取樣。在這個例子中，ADC 2取樣的時間永遠會比ADC 1慢1/2個時脈週期。當每一個即時擷取週期結束後，示波器的CPU或波形處理ASIC會取出儲存在每個ADC擷取記憶體中的資料，然後將取樣資料交錯處理，產生即時數位轉換過的波形，其取樣密度會多一倍（2X取樣率）。 採用即時交錯取樣方法的示波器必須遵循兩項守則。第一，若要得到準確、無失真的交錯取樣結果，每個ADC的垂直增益、偏壓和頻率響應都必須很接近。第二，相位延遲的時脈信號必須精確對準，才符合Nyquist的第二個原則－取樣的間隔必須相等，換句話說，ADC 2的取樣時脈必須比ADC 1的取樣時脈剛剛好延遲180度。若要得到準確的交錯取樣結果，這兩項標準都很重要。然而，為了讓大家更容易瞭解交錯取樣對準度不佳可能產生的誤差，本文接下來主要討論的重點將是相位延遲時脈信號未精確對準對誤差度會造成什麼影響。

圖9的時序圖說明了如果兩個交錯取樣ADC的相位延遲時脈系統不是剛好彼此延遲1/2個取樣週期的話，交錯取樣的時序就會不正確。由這張圖可以看出，相對於輸入信號，即時數位轉換點（紅色的點）實際上是在何處轉換的，但因相位延遲時脈信號（紫色的波形）沒有精確對準，這些數位轉換點的間隔並不相等，違反了Nyquist的第二個原則。

當示波器的波形處理引擎從每個ADC的擷取記憶體取出儲存的資料時，它會假設每個記憶體元件中的取樣資料的間隔都是相等的。因此，當示波器的Sin(x)/x重建濾波器在試圖重建原始輸入信號的波形時，會產生嚴重失真的信號波形，如圖10所示。

由於輸入信號與示波器的取樣時脈信號之間的相位關係是隨機的，因此，當您在檢視反覆擷取的信號時，即時取樣的失真（有時又稱為“取樣雜訊”）可能會被錯誤地解讀為隨機雜訊，但它卻完全不是隨機的，而是確定性的（deterministic），且與示波器的取樣時脈信號的諧波直接相關。

測試交錯取樣失真

不幸的是，示波器的製造商並沒有在DSO的規格資料中，提供客戶可以直接量化示波器數位轉換過程的處理品質的規格。不過，還是有幾項測試可以做，而且相當容易，不僅能協助您量測取樣失真的影響，也能找出和量化取樣失真度。以下是您可以在示波器上執行的一些測試，能偵測和比較出交錯取樣失真情形：

有效位元數分析

有些示波器製造商在量化取樣詳實度上所能提供的最接近規格就是有效位元數（ENOB），但ENOB是包含了輸入放大器的諧波失真和隨機雜訊等數種誤差成份的複合規格。雖然有效位元數測試在比較不同示波器的整體準確度時，可以提供很好的基準，但一般並未充分瞭解有效位元的概念，而且這項測試需要將數位轉換過的資料匯出到PC中，迅速進行大量複雜的運算。基本上，有效位元數測試會先從數位轉換過的正弦波中，抽取出理論上最符合的正弦信號，此正弦波的曲線平滑化（curve-fit）演算法會消除示波器放大器增益和偏壓不準確所導致的任何誤差。接著，這項測試會計算一個週期中，數位轉換過的正弦波相對於理想/抽取出的正弦波的RMS誤差，再將此RMS誤差與理論上一個理想的“N”位元ADC大概會產生的RMS誤差相比較。舉例來說，如果示波器的擷取系統有5.3個有效位元的準確度，表示它所產生的RMS誤差量與一個理想的5.3位元ADC系統相同。

想要測試示波器是否會產生ADC交錯取樣失真較簡單且容易的方法是，利用高品質的信號產生器產生一個頻率很接近示波器頻寬的正弦波，然後輸入示波器中，只要看一下就可以判斷數位轉換和濾波過的波形形狀是否夠純淨。

您也可以運用示波器的FFT數學運算功能，在頻域中量測未精確對準所造成的ADC失真。輸入純淨的正弦波後，理想/未失真的頻譜在輸入頻率應包含單一頻率成份，頻譜中的任何其它雜波（spur）都是失真的成份。您也可以將此方法應用在數位時脈信號上，但它的頻譜會比較複雜一些，您必須知道要找什麼。

您可以執行的另一項簡單的測試是比較參數量測的穩定度，例如頻寬類似的示波器之間的上升時間、下降時間或Vp-p的標準差。如果存在交錯取樣失真的現象，它會產生不穩定的量測結果，就像隨機雜訊一樣。

直接查看的正弦波比較測試

圖11是直接用看的正弦波測試螢幕上擷取下來的兩個畫面，這是最簡單又直覺的比較測試。圖11a是使用Keysight InfiniiVision 1-GHz示波器，以4 GSa/s取樣率擷取到的200 MHz正弦波。這台示波器使用非交錯式ADC技術，可提供4:1的取樣率對頻寬比。圖11b是使用LeCroy 1-GHz示波器，以10 GSa/s取樣率擷取到的200 MHz正弦波。這台示波器使用交錯式技術，具有最高10:1的取樣率對頻寬比。


雖然我們直覺地認為，在相同頻寬下，取樣率越高，量測結果就越準確。但是這個比較測試顯示，較低的取樣率，實際上卻產生更加準確的200 MHz輸入正弦波。會有這樣的結果，不是因為取樣率越低越好，而是無法準確對齊的交錯式即時ADC會抵消高取樣率的優點。

在頻寬更高、取樣率更高的示波器中，交錯取樣ADC技術的精確對準更顯重要。在較低的取樣率下，相位延遲時脈信號的固定誤差量或許沒什麼大不了，但同樣的時序固定誤差量在較高的取樣率下（取樣週期較短），卻會變得很嚴重。接下來就讓我們來比較兩台頻寬較高、分別採用和不採用即時交錯取樣技術的示波器有何差異。

圖12是從直接用看的正弦波測試螢幕上擷取下來的兩個畫面，所比較的是是德科技3 GHz頻寬的示波器，分別以20 GSa/s（非交錯式）和40 GSa/s（交錯式）的取樣率，擷取一個2.5 GHz的正弦波。這台DSO的四個通道背後都各有一個單晶片的20 GSa/sADC，但只使用示波器的兩個通道時，儀器會自動切換為交錯使用兩個ADC的模式，提供高達40 GSa/s的即時取樣率。

直接目視，我們無法看出這兩個波形的品質有何太大的差異，兩者看起來都是相當“純淨”的正弦波，幾乎沒有失真。但當我們執行Vp-p的統計式量測時，可以看到取樣率較高可以得到稍微穩定一點的量測結果，就像我們所預期的一樣。

圖13是直接用看的正弦波測試結果，所比較的是Tektronix 2.5 GHz頻寬的示波器，分別以10 GSa/s (非交錯式) 和40 GSa/s (交錯式) 的取樣率，擷取同一個2.5 GHz的正弦波。這台DSO的四個通道背後都各有一個單晶片的10 GSa/sADC，但只使用示波器的一個通道時，儀器會自動交錯使用四個ADC，在單一個通道上，提供高達40 GSa/s的即時取樣率。

在這個目測的正弦波測試中，我們可以看到所有這些取樣率設定值，其波形傳真度有極大的差異。在10 GSa/s取樣率下，未使用交錯式ADC (圖13a)，示波器可相當逼真地重現輸入正弦波。不過，相較於使用Keysight示波器在相當的頻寬下所執行的量測，其Vp-p量測結果穩定度整整低了四倍。在40 GSa/s取樣率下，使用交錯式ADC (圖13b)，我們可清楚看到Tek DSO示波器產生的波形有失真現象，而且Vp-p量測結果不太穩定。這有違我們的直覺。大部分的工程師使用相同的示波器，以較高速率進行取樣時，都期望能得到更準確、更穩定的量測結果。量測結果之所以變差，主要原因是即時交錯取樣ADC系統的垂直對齊度和時序對準不準確所致。

頻譜分析的比較測試

直接用看的正弦波測試並未實際證明失真來自於何處，它只顯示出不同的誤差/失真成份的影響。不過，透過頻譜/FFT分析，肯定可以找出失真的成份，包括諧波失真、隨機雜訊和交錯取樣失真。若使用高品質信號產生器所產生的正弦波，輸入信號應該只有一種頻率成份。除了基本頻率以外，對數位轉換過的波形進行FFT分析所偵測到的任何其它頻率成份都是示波器所引起的失真成份。

圖14a顯示使用Keysight Infiniium示波器，以40 GSa/s取樣率，單擊擷取一個2.5 GHz正弦波並進行FFT分析的結果。最嚴重的失真突波大約比基頻低了90 dB，此失真成份實際上是二次諧波失真，最可能是信號產生器所產生的，而且其位準微不足道，甚至比示波器的頻內（in-band）雜訊底線還低。

圖14b顯示使用Tektronix示波器，同樣以40 GSa/s取樣率，單擊擷取同一個2.5 GHz正弦波並進行FFT分析的結果。經FFT分析測出最嚴重的失真雜波大約比基頻低32 dB，這是很明顯的失真位準，可以說明為何正弦波測試（圖13b）結果會產生失真的波形。

此處，出現失真的頻率在7.5 GHz，正好比輸入信號頻率（2.5 GHz）低10 GHz，這是由負的折回正的所致。下一個最高的失真成份出現在12.5 GHz，剛好比輸入信號頻率（2.5 GHz）高10 GHz。

數位時脈信號量測穩定度的比較測試

身為數位設計人員，您可能會說您其實不太在意類比信號（如正弦波）的失真，但不要忘了，所有的數位信號都可以解析成無限多個正弦波。如果數位時脈的第五次諧波失真了，則所組合出來的數位波形也會失真。

雖然數位時脈信號的取樣失真測試比較困難，但還是可以做，不過，不建議對數位信號執行直接用看的失真測試，因為沒有所謂“純淨”的數位時脈信號產生器這種東西。即使是使用最高性能的脈衝信號產生器產生出來的數位信號也可能會有不同程度的過擊和擾動，以及不同的信號緣速度。除此之外，數位轉換信號的脈衝形狀也可能因示波器前級硬體的脈衝響應特性，以及不平坦的頻率響應而失真。

不過，還是可以利用高速時脈信號，執行一些測試，以比較示波器ADC系統的品質。其中一項測試是比較參數量測的穩定度，如上升時間和下降時間的標準差。交錯取樣失真會導致信號緣量測不穩定，使數位信號的高速信號緣多了確定性抖動成份。

圖15比較兩台頻寬類似的示波器，分別擷取和量測一個信號緣速度在250 ps之譜的400 MHz數位時脈信號的上升時間。圖15a是是德科技頻寬3 GHz的示波器交錯使用兩個20 GSa/sADC，以40 GSa/s的速率對這個信號進行取樣的結果，上升時間的反覆量測結果顯示標準差為3.3 ps。圖15b則是Tektronix 頻寬為2.5 GHz的示波器交錯使用四個10 GSa/sADC，同樣以40 GSa/s的速率對這個信號進行取樣的結果。除了顯示結果較不穩定以外，這個數位時脈信號的上升時間量測結果也呈現9.3 ps的標準差。是德科技示波器的ADC交錯取樣的對準度更精確，加上雜訊底線較低，因此，可以更準確地擷取到這個時脈信號較高頻率的諧波，提供更穩定的量測結果。

當您透過FFT分析，觀察數位時脈信號的頻率成份時，所看到的頻譜會比測試一個簡單的正弦波複雜許多。高品質脈衝信號產生器產生的純淨數位時脈信號應包含基頻成份及其奇數次的諧波。如果時脈信號的脈衝寬度比（duty cycle）不是剛好50%，那麼它的頻譜中也會包含振幅較低的偶數次諧波。不過，如果您知道要找什麼，可以忽略什麼，您也可以運用示波器的FFT數學運算功能，在頻域中量測數位信號的交錯取樣失真。

圖16a是使用是德科技頻寬3 GHz的示波器，以40 GSa/s的取樣率，擷取400 MHz時脈信號所呈現的頻譜。唯一可以觀察到的頻率雜波為基本頻率、三次諧波、五次諧波、七次諧波、以及一些較小的偶數次諧波，頻譜中所有其它的雜波都遠低於示波器的帶內雜訊底線。

圖16b是使用Tektronix頻寬2.5 GHz的示波器，同樣以40 GSa/s的取樣率，擷取400 MHz時脈信號所呈現的頻譜。透過FFT分析，我們不僅看到基頻成份及其相關的諧波，也看到在較高的頻率，群集在10 GHz和40 GHz附近有好幾個雜波。這些鏡像的雜波（imaging spur）與示波器的交錯取樣ADC系統沒有精確對準直接相關。

結語

正如您在這本應用手冊中所看到的，影響示波器信號詳實度的不只有取樣率而已，在某些情況下，取樣率較低的示波器也可能產生較準確的量測結果。

若要符合Nyquist標準，您需要的示波器取樣率至少要比示波器的頻寬規格高三到五倍，視示波器的頻率下降特性而定。若要達到更高的取樣率，示波器製造商通常需要交錯使用多個即時的ADC。但若採用即時交錯取樣技術，交錯取樣的ADC必須有良好的垂直對齊度，且相位延遲時脈信號的時序也必須很精確。需要注意的是，問題不在於交錯取樣ADC的數目，而是交錯取樣時序第二個原則（取樣間隔必須相等）而造成失真，其結果通常會抵銷掉提高取樣率所能帶來的好處。

當您比較頻寬類似之示波器的波形詳實度時，會發現是德科技的即時示波器運用業界精確度最高的ADC技術，所呈現出的輸入信號波形最為真實。

文章中之詞彙解釋